Kelas 8 barisan dan deret geometri (2)

 

Barisan dan Deret Geometri

Terlebih dahulu kita akan memahami konsep awal atau dasar-dasar dari barisan geometri yang meliputi :

• Apa itu barisan geometri ?
• Apa itu deret geometri ?

Apa itu Barisan Geometri ?

Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Jika dalam barisan aritmatika, selisih antara satu suku dengan suku berikutnya disebut dengan nilai beda. Sedangkan dalam barisan geometri selisih antar suku diistilahkan dengan rasio ( dilambangkan dengan r).

Misalkan diketahui barisan seperti dibawah ini :

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 3 atau r = 3. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Contoh lain dari Barisan Geometri:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Barisan ini memiliki rasio 2 (r=2)
Setiap suku(kecuali suku pertama) merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan 2.

Secara umum kita dapat menulis Barisan (Urutan) Geometrik seperti berikut :

{a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ar⁷...}

dimana:

• a adalah suku pertama
• r adalah rasio

Rumus-Rumus Barisan Geometri

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = ar^(n-1)
dimana :

• U_n adalah suku ke-n
• a menyatakan suku pertama
• r menyatakan rasio
• n menyatakan banyaknya suku

2. Untuk mencari nilai rasio(r) :

r = U_nU_(n-1)       atau r =  U2 / U1
dimana :          

 U2 adalah suku pertama. U1 adalah suku kedua

• r adalah rasio
• U_n adalah suku ke-n
• U_(n-1) adalah suku ke-n sebelumnya

3. Mencari Suku Tengah 
Kita dapat mencari suku tengah untuk sebuah barisan geometri yang memilliki n suku ganjil (banyaknya suku harus ganjil) dimana diketahui suku pertama dan rasio, maka digunakan rumus:

U_t = √a . rⁿ

dimana:

• U_t adalah suku tengah
• a adalah suku pertama
• n menyatakan banyaknya suku
• r adalah rasio

Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan suku terakhir, maka rumusnya:

U_t = √a . U_n

dimana :

• U_t adalah suku tengah
• a adalah suku pertama
• U_n adalah suku ke-n (dalam hal ini sebagai suku terakhir)

Apa itu Deret Geometri ?

Sama halnya seperti deret aritmatika yang merupakan jumlah dari barisan aritmatika, maka deret geometri adalah hasil penjumlahan dari nilai suku suku sebuah barisan geometri. Deret geometri dikenal juga dengan sebutan deret ukur.
Contoh:

• 1 + 2 + 4 + 8 +16+32
• 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Untuk menghitung deret geometri terdapat dua rumus, yaitu :

• Rumus Deret Geometri Turun
  Rumus deret geometri turun hanya bisa digunakan jika 0 < r < 1
  
  S_n = a(1 - rⁿ)1 - r
  dimana :
  

  • S_n adalah jumlah deret suku ke-n
  • a adalah suku pertama
  • r adalah rasio
  • n adalah banyaknya suku


• Rumus Deret Geometri Naik
  Rumus deret geometri naik hanya bisa digunakan jika r > 1.
  
  S_n = a(rⁿ-1)r - 1
  dimana :
  

  • S_n adalah jumlah deret suku ke-n
  • a adalah suku pertama
  • r adalah rasio
  • n adalah banyaknya suku

Latihan Soal

Soal No.1

---

Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :
a. 128
b. 192
c.  64
d. 190

Pembahasan

a = 3
r = 2
Un = ar^(n-1)
⇒ 3.2^(7-1)
⇒ 3.2^(7-1)
⇒ 192

Jawab : b
Soal No.2

---

Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut :
a. 4
b. 3
c. 2
d. 9

Pembahasan

Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka:
U_n = 243
U_(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = U_nU_(n-1) = 24381 = 3 atau   r = U2/U1 = 9/3 = 3

Jawab :b


Soal No.3

---

Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80,  .... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah :
a. 160
b. 320
c. 510
d. 640

Pembahasan

a = 5
U_n = 5120

U_t = √a . U_n

U_t = √5 . 5120 = √25600 = 160

Jawab :a


Soal No.4

---

Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya ?
a. 27
b. 81
c. 243
d. 9

Pembahasan

a = 3
r = 3
n = 5

U_t = √a . rⁿ = √3 . 3⁵=729 = 27

Jawab : a

Soal No.5

---

Diketahui barisan geometri dengan U₅ = 6 dan U₉ = 24. Maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ...
A. 4√3
B. 3√3
C. 3√2
D. 2√3

Pembahasan

U_n = ar^(n-1)

U₅ = ar^(5-1)
6 = ar⁴

U₉ = ar^(9-1)
24 = ar⁸
24 = ar⁴ . r⁴
24 = 6 . r⁴
24/6 = r⁴
r⁴ = 4
r = 4√4
r = 4^¼
r = 2 ^{2 . ¼}
r = 2 ^½
r = √2

Masukkan nilai r pada U₅:
6 = ar⁴
6 = a(√2⁴)
6 = a(4)
a = 

32

U₄ = ar^4-1
U₄ = ar³
U₄ = 

32

(√2)³
U₄ = 

32

2√2)
U₄ = 3√2

Jawab : C

Soal No.6

---

Pertumbuhan bakteri mengikuti pola barisan geometri. Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya. Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri, maka jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah ....
A. 6 detik
B. 8 detik
C. 9 detik
D. 11 detik

Pembahasan

Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya.
Pernyataan tersebut dapat kita simpulkan rasio (r) = 2

Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri
Pernyataan ini bisa simpulkan bahwa suku pertama (a) = 5

Jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri.
Pernyataan di atas bermakna : Suku ke-n (U_n) = 320

Sekarang kita sudah dapat yang diketahui yaitu :
r = 2
a = 5
U_n = 320

Yang ditanyakan adalah : suku ke-n (detik ke berapa) ?

U_n = ar^n-1
320 = 5.2^n-1
3205 = 2^n-1
64 = 2^n-1
2⁵ = 2^n-1
5 = n-1
5 + 1 = n
n = 6

Jadi jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah 6 detik

Jawab : A